En la mecánica, que sigue siendo la base de las actuales ciencias de la ingeniería, el concepto de fuerza es fundamental. Así pues, en primer lugar es necesario analizar las magnitudes vectoriales, ya que las fuerzas son necesarias para analizar su efecto sobre las particulas o sobre los sólidos.

Una magnitud física es vectorial si posee módulo, dirección y sentido, se representa por 2 (en 2D) o 3 (en 3D) coordenadas, se suma con otras de acuerdo a la regla del paralelogramo.

Fuerzas y vectores

Hay tres tipos de vectores: fijo o ligado, libres y deslizantes. Las fuerzas son magnitudes vectoriales que se caracterizan por un punto de aplicación, un módulo y una dirección y sentido,

En un espacio tridimensional, la expresión analítica de una fuerza F es $\overrightarrow{F}=F_x\overrightarrow{i}+F_y\overrightarrow{j}+F_z\overrightarrow{k}$ o bien $\overrightarrow{F}=F\left(\cos {\theta }_x\overrightarrow{i}+\cos {\theta }_y\overrightarrow{j}+\cos {\theta }_z\overrightarrow{k}+\right)$ siendo $\stackrel{}{F}=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}$ su módulo.

Para las tres componentes rectangulares se tiene $F_x=F\cos {\theta }_x$; $F_y=F\cos {\theta }_y$; $F_z=F\cos {\theta }_z$, siendo ${\theta }_x$, ${\theta }_y$, ${\theta }_z$, respectivamente, los ángulos que F forma con los ejes x, y, z.

Los cosenos de ${\theta }_x$, ${\theta }_y$, ${\theta }_z$ se conocen como los cosenos directores de la fuerza F, de forma que la fuerza la podemos escribir como el producto de su módulo $\overrightarrow{F}=F\overrightarrow{\lambda }$ por el vector unitario en la dirección de F $$\overrightarrow{\lambda }=\cos {\theta }_x\overrightarrow{i}+\cos {\theta }_y\overrightarrow{j}+\cos {\theta }_z\overrightarrow{k}$$ que tambien podemos calcular como $\overrightarrow{\lambda }=\frac{\overrightarrow{F}}{F}$.

Cuando sobre una partícula actúan varias fuerzas (fuerzas concurrentes), las componentes de su resultante R serán $R_x=\sum F_x$; $R_y=\sum F_y$; $R_z=\sum F_z$. Y el vector resultante: $\overrightarrow{R}=R_x\overrightarrow{i}+R_y\overrightarrow{j}+R_z\overrightarrow{k}=\left(R_x\text{,}{R}_y\text{,}{R}_z\right)$

Una partícula o un sólido está en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre ella es nula.

Para resolver un problema que se refiera a un sólido en equilibrio, primero se deberá dibujar un diagrama de sólido libre que muestre todas las fuerzas que actúan sobre la partícula o el sólido. Resolver el diagrama de sólido libre del sólido consiste entonces en representar todas las fuerzas actuantes sobre el sólido y resolver las condiciones de equilibrio:

Al estudiar el efecto de las fuerzas aplicadas sobre un sólido rígido, el objetivo es saber cómo sustituir un sistema de fuerzas por un sistema equivalente más simple.  La base será el principio de trasmisibilidad:  el efecto de una fuerza F sobre un sólido rígido no cambia si la deslizamos a lo largo de su línea de acción (vector deslizante). Las dos fuerzas siguientes  F  y  F’ son equivalentes, es decir F = F’.

Sirve para calcular la componente de un vector sobre otro, o para calcular el momento de una fuerza respecto de un eje. Si $\overrightarrow{P}=P_x\overrightarrow{i}+P_x\overrightarrow{j}+P_z\overrightarrow{k}$ y $\overrightarrow{Q}=Q_x\overrightarrow{i}+Q_x\overrightarrow{j}+Q_z\overrightarrow{k}$, se define su producto escalar como la magnitud escalar resultante de realizar la operación: $$\overrightarrow{P}·\overrightarrow{Q}=PQ\cos \theta$$ que es lo mismo que multiplicar P por la proyeccion de Q sobre P.

Su expresión analítica, escribiendo  P y Q en función de sus componentes, es $$\overrightarrow{P}·\overrightarrow{Q}=P_x{Q}_x+P_y{Q}_y+P_z{Q}_z$$ de forma que el producto escalar nos permite determinar el angulo formado por dos vectores como $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{P}·\overrightarrow{Q}}{PQ}$, y tambien la proyeccción de un vector sobre un eje, como: $P_{OL}=\overrightarrow{P}·\overrightarrow{\lambda }=P\cos \theta$.

Sirve para calcular el momento de una fuerza respecto de un punto. La expresión analítica del producto vectorial de  $\overrightarrow{P}=P_x\overrightarrow{i}+P_y\overrightarrow{j}+P_z\overrightarrow{k}$ y $\overrightarrow{Q}=Q_x\overrightarrow{i}+Q_y\overrightarrow{j}+Q_z\overrightarrow{k}$, es un vector $$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{P}\wedge \overrightarrow{Q}=\left(P_x\overrightarrow{i}+P_y\overrightarrow{j}+P_z\overrightarrow{k}\right)\wedge \left(Q_x\overrightarrow{i}+Q_y\overrightarrow{j}+Q_z\overrightarrow{k}\right)=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ P_x& P_y& P_z\\ Q_x& Q_y& Q_z\end{array}\right|$$

Interpretación geométrica sencilla del producto vectorial: el módulo V del producto vectorial de P y Q mide el área del paralelogramo que tiene por lados a P y Q. Por eso, el producto vectorial nos permite representar cualquier superficie por un vector perpendicular a ella, cuyo módulo sea el área de esa superfície.

El efecto de una fuerza sobre un sólido rígido depende también de su punto de aplicación O. Por ello, se define el momento de F con respecto a O como el producto vectorial de r y F:

El momento $\overrightarrow{M_O}$ debe ser perpendicular al plano que contiene al vector posición r del punto de aplicación de la fuerza (o sea al punto O) y a la fuerza F. Su sentido está definido por la regla de la mano derecha.

Si deslizo el punto de aplicación P a un nuevo punto P', situado a lo largo de su linea de acción, el momento respecto de O no cambia, siendo en cualquier caso M_O = F d.

Un caso particular de sistema de vectores paralelos es el de un par de fuerzas. Es un sistema formado por dos fuerzas F y -F que tienen el mismo módulo, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos.

Característica de un par de fuerzas: $\overrightarrow{R}=0$ ; $M_O\ne 0$

Momento del par respecto de cualquier punto O: M_O = Fd, siendo d el brazo del par.

Descomposición de una fuerza en un sistema fuerza-par en O: cualquier fuerza F que actúa sobre un sólido rígido puede moverse a un punto arbitrario O, siempre que se agregue un par de momento igual al momento de F con respecto a O.

Reducción de un sistema de fuerzas: Cualquier fuerza F que actúa en un punto A de un sólido rígido se puede sustituir por un sistema fuerza-par en un punto arbitrario O, formado por una fuerza F aplicada en O y un par de momento Mo igual al momento con respecto a O de la fuerza F en su posición original.

Cualquier sistema de fuerzas se puede reducir a un sistema fuerza-par equivalente definido por las ecuaciones: $\overrightarrow{R}=\sum _i\overrightarrow{F_i}$ y ${\overrightarrow{M}}_0\left(R\right)=\sum _i{\overrightarrow{M}}_{\mathrm{O,i}}=\sum _i\left(\overrightarrow{r}\wedge F_i\right)$ para el momento resultante del sistema.

Sistemas de fuerzas vectorialmente equivalentes

Si cualquier sistema de fuerzas que actúa sobre un sólido rígido puede reducirse a un sistema fuerza-par en un punto dado O, este sistema fuerza-par equivalente caracteriza completamente el efecto del sistema dado sobre el sólido rígido. Por consiguiente, dos sistemas de fuerzas son mecánicamente equivalentes si pueden reducirse al mismo sistema fuerza par en un punto dado O, es decir, si: