FUERZAS DISTRIBUIDAS. CENTROIDES

Tema 2.- Fuerzas distribuidas: centroides

1.- Centro de gravedad. Definición.

En este capitulo se determina el centro de gravedad G (centroide o centro de masas, cdm, en un campo gravitatorio uniforme) de un sólido rígido, punto donde se puede considerar aplicado el peso del cuerpo.

Centro de gravedad

Expresión vectorial del centro de gravedad: ${\vec{r}}_{G} = x_{G} \vec{i} + y_{G} \vec{j} + z_{G} \vec{k} = \frac{\sum m_{i} {\vec{r}}_{i}}{\sum m_{i}}$ ,

o bien en sus componentes escalares $x_{G} = \frac{\sum x_{i} m_{i}}{m}$ , $y_{G} = \frac{\sum y_{i} m_{i}}{m}$ , $z_{G} = \frac{\sum z_{i} m_{i}}{m}$ .

Centros de gravedad en 3D, 2D o 1D para cuerpos continuos

Si la masa esta distribuida en un volumen V o superfície S o longitud L es

$x_{G} = \frac{\int_{M} xdm}{m}$ $y_{G} = \frac{\int_{M} ydm}{m}$ $z_{G} = \frac{\int_{M} zdm}{m}$

Si α representa la densidad volúmica, superficial o lineal, será dm = αdV o dm = αdS o dm = αdl, y si el cuerpo es homogéneo, entonces resulta:

$3D: x_{G} = \frac{\int_{V} xdV}{\int_{V} dV} = \frac{1}{V} \int_{V} xdV$ $2D: x_{G} = \frac{1}{S} \int_{S} xdS$ $1D: x_{G} = \frac{1}{L} \int_{L} xdl$

con expresiones similares para las otras dos coordenadas.

2.- Centros de gravedad de cuerpos compuestos

Para un cuerpo compuesto y homogéneo (3 dimensiones)

$x_{G} = \frac{\sum x_{Gi} V_{i}}{\sum V_{i}}$ , $y_{G} = \frac{\sum y_{Gi} V_{i}}{\sum V_{i}}$ , $z_{G} = \frac{\sum z_{Gi} V_{i}}{\sum V_{i}}$

Centros de gravedad de cuerpos compuestos

Reglas de Arquímedes.

Reglas de Arquímedes

3.- Teoremas de Pappus-Guldin

Referidos a superfícies y cuerpos de revolución, permiten determinar el cdg de la curva o superfície generatriz.

Teorema 1: $A = 2 π y_{G} L$

Teorema 2: $V = 2 π y_{G} A$

4.- Tablas: centros de gravedad de curvas, áreas y volumenes.

Tabla 1.- Centros de gravedad de curvas usuales.

Tabla 1
Forma	$\bar{x}$	$\bar{y}$	Longitud
Cuadrante de circunferencia	$\frac{2 r}{π}$	$\frac{2 r}{π}$	$\frac{π r}{2}$
Semicircunferencia	0	$\frac{2 r}{π}$	$π r$
Arco de circunferencia	$\frac{r sen α}{α}$	0	$2 α r$

Tabla 2.- Centros de gravedad de áreas usuales

Tabla 2
Forma	$\bar{x}$	$\bar{y}$	Área
Área triangular		$\frac{h}{3}$	$\frac{bh}{2}$
Un cuarto de área circular	$\frac{4 r}{3 π}$	$\frac{4 r}{3 π}$	$\frac{π r^{2}}{4}$
Área semicircular	0	$\frac{4 r}{3 π}$	$\frac{π r^{2}}{2}$
Cuarto de área elíptica	$\frac{4 a}{3 π}$	$\frac{4 b}{3 π}$	$\frac{π a b}{4}$
Área semielíptica	0	$\frac{4 b}{3 π}$	$\frac{π a b}{2}$
Área semiparabólica	$\frac{3 a}{8}$	$\frac{3 h}{5}$	$\frac{2 a h}{3}$
Área parabólica	0	$\frac{3 h}{5}$	$\frac{4 a h}{3}$
Extradós parabólico	$\frac{3 a}{4}$	$\frac{3 h}{10}$	$\frac{a h}{3}$
Sector circular	$\frac{2 r sen α}{3 α}$	0	$α r^{2}$

Tabla 3.- Centros de gravedad de volúmenes usuales

Tabla 3
Forma	$\bar{x}$	Volumen
Semiesfera	$\frac{3 a}{8}$	$\frac{2}{3} π a^{3}$
Semielipsoide de revolución	$\frac{3 h}{8}$	$\frac{2}{3} π a^{2} h$
Paraboloide de revolución	$\frac{h}{3}$	$\frac{1}{2} π a^{2} h$
Cono	$\frac{h}{4}$	$\frac{1}{3} π a^{2} h$
Pirámide	$\frac{h}{4}$	$\frac{2}{3} a b h$

Ejemplo de determinación de centroides

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