El Método de Newton-Raphson

El Método de Newton-Raphson

Sea $x^{*}$ un cero de la función $f$ , es decir $f\left(x^{*}\right)=0$ . El método de Newton- Raphson consiste en obtener (mediante un procedimiento en concreto que detallamos a continuación) una sucesión de puntos ${\left\{x_n\right\}}_{n=0}^{\infty }\subset ℝ$ que converja hacia $x^{*}$ . Para poder utilizar este método hemos de suponer que la función $f$ es derivable en un entorno de $x^{*}$ como veremos más adelante.

Para obtener la sucesión ${\left\{x_n\right\}}_{n=0}^{\infty }$ , partimos de un valor inicial $x_0\in ℝ$ que esté suficientemente cercano a $x^{*}$ . El siguiente punto de la sucesión $x_1$ se construye como la intersección de la recta tangente a la función $f$ en el punto de abscisa $x_0$ con el eje de abscisas, es decir la intersección de las rectas $y=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$ y $y=0$ . De esta forma tenemos que $x_1=x_0-f\left(x_0\right)/f^{\prime }\left(x_0\right)$ . El siguiente punto se obtendría trazando la recta tangente a $f$ en el punto de abscisa x 1 e intersectándola con el eje $y=0$ y así sucesivamente. Generalizando el proceso descrito tenemos que la sucesión ${\left\{x_n\right\}}_{n=0}^{\infty }$ está generada a partir de la iteración de Newton-Raphson

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime }\left(x_n\right)}\text{.}$$

Es claro que, dependiendo de cual sea el punto inicial $x_0$ , la iteración de Newton-Raphson no tiene por qué converjer hacia la solución buscada $x^{*}$ . Puede ocurrir que la sucesión diverja, es decir, ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\pm \infty$ . También es posible que la sucesión converja hacia un cero $\overline{x}$ de $f$ distinto de $x^{*}$ , es decir, $${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\overline{x}\ne x^{*}\text{.}$$ Incluso es posible la más exótica situación en la que la sucesión sea periódica: existen dos número $m\text{,}k\in \mathbb{N}$ con $0\le m>k$ tal que $x_m=x_k$. Todas estas posibilidades en las cuales ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n\ne x^{*}$ son indeseables y el siguiente teorema asegura bajo qué condiciones no currirán.

Teorema 1 (Condición suficiente de convergencia). Sea $f\in C^2\left[a\text{,}b\right]$ con $f\left(a\right)f\left(b\right)<0$ tal que $f^{\prime }\left(x\right)$ y $f^{″}\left(x\right)$ son funciones de signo constante en el intervalo $\left[a\text{,}b\right]\subset ℝ$ . Entonces, tomando el punto inicial $x_0\in \left\{a\text{,}b\right\}$ que verifique $\mathrm{sign}f\left(x_0\right)=\mathrm{sign}{f}^{″}\left(x_0\right)$ se asegura la convergencia de la sucesión de Newton-Raphson ${\left\{x_n\right\}}_{n=0}^{\infty }\subset ℝ$ hacia la única raíz $x^{*}$ de $f$ en $\left[a\text{,}b\right]$ .